La cinématique du point

1. Introduction

Objectifs de la cinématique du point:

On désigne par cinématique (du grec ancien kinematikos: mouvement) une branche de la mécanique qui étudie le mouvement des corps en faisant abstraction des causes de celui-ci (l'etude des causes du mouvement est attribuée à la dynamique). En cinématique nous allons donc définir de nouvelles grandeurs comme la vitesse, l'accélération, etc. Nous nous limiterons de plus dans ce cours à l'étude de la cinématique dite du point en modélisant mathématiquement notre objet d'étude par un simple point (c'est -à-dire qu'on suppose que l'objet est sans dimensions spatiales). La prise en compte des dimensions spatiales d'un objet complique en effet énormément la description de son mouvement car il faut alors prendre en compte les mouvements de rotation de l'objets sur lui-même mais aussi des déformations que peux éventuellement subir l'objet durant son déplacement (cette étude sera réalisée dans le cadre de la cinématique dite du solide).

Prérequis:

Pour aborder ce cours de cinématique du point aucun prérequis est nécessaires. Il est néanmoins préférable d'avoir de bonnes bases en calcul différentiel (calcul de dérivées des fonctions usuelles, opérations sur les dérivées, etc).

2. Repères d'espace et de temps

3. Choix d'un système de coordonnées

Nous avons vu dans le chapitre précèdent que pour localiser un point dans un espace à 3 dimensions, il est nécessaire de fournir 3 coordonnées associées à un repère qui est constitué d'une origine et d'une base de trois vecteurs. Dans ce chapitre nous allons parcourir les principaux systèmes de coordonnées utilisés en cinématique du point:

Définition: Le système de coordonnées cartésiennes
Le premier système de coordonnées possible est le système de coordonnées cartésiennes qui est constitué de trois scalaires $\big( x(t),y(t), z(t) \big)$ dépendant du temps. Ces coordonnées correspondent aux composantes du point M dans la base cartésiennes dont les vecteurs de base sont $(\vec{e}_x,\vec{e}_y,\vec{e}_z)$. Nous noterons $\vec{OM}$ le vecteur position entre l'origine $0$ du repère et le point $M$. Ce vecteur $\vec{OM}$ décomposé dans la base cartésienne $(\vec{e}_x,\vec{e}_y,\vec{e}_z)$ donne:
\begin{equation}
\vec{OM}(t) = x(t)\vec{e}_x+y(t)\vec{e}_y+z(t)\vec{e}_z
\end{equation}
et sous forme matricielle:
\begin{equation}
\vec{OM}(t) =
\left(
\begin{array}{c}
x(t) \\
y(t) \\
z(t)
\end{array}
\right)_{(\vec{e}_x,\vec{e}_y,\vec{e}_z)}
\end{equation}
où $(x(t),y(t),z(t))$ sont les composantes du vecteur position dans la base cartésienne $(\vec{e}_x,\vec{e}_y,\vec{e}_z)$.

Remarque: coordonnées cartésiennes et composantes du vecteur position $\vec{OM}$ dans la base cartésiennes sont identiques (cependant nous verrons que ce n'est plus vrai pour les autres systèmes de coordonnées). Attention donc au vocabulaire et a ne pas confondre coordonnées et composantes du vecteur position dans une base donnée !.

Définition: Le système de coordonnées cylindriques

$\big( \rho(t),\theta(t),z(t) \big)$ , $\vec{OM}$
Le vecteur position décomposé dans la base cylindrique $(\vec{e}_\rho,\vec{e}_\theta,\vec{e}_z)$ s'écrit:
\begin{equation}
\vec{OM}(t) = \rho(t)\vec{e}_\rho(t)+z(t)\vec{e}_z
\end{equation}

qui peut également s'écrire sous forme matricielle:
\begin{equation}
\vec{OM}(t) =
\left(
\begin{array}{c}
\rho(t) \\
0 \\
z(t)
\end{array}
\right)_{(\vec{e}_\rho(t),\vec{e}_\theta(t),\vec{e}_z)}
\end{equation}
où $\big( \rho(t), 0,z(t) \big)$ sont les composantes du vecteur position dans la base cylindrique $(\vec{e}_\rho,\vec{e}_\theta,\vec{e}_z)$.

Remarque 1: attention a ne pas confondre coordonnées cylindriques et
composantes du vecteurs position $\vec{OM}$ dans la base cylindrique !.

Remarque 2: il est important de retenir ici que les vecteurs
de base $\vec{e}_\rho(t)$ et $\vec{e}_\theta(t)$ dépendent du temps et
qu'il est alors possible de montrer (voir exercice 1 que la dérivation de ces vecteurs en fonction du temps donne:

\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{c}
\frac{d\vec{e}_\rho(t)}{dt} = \frac{d\theta(t)}{dt}\vec{e}_\theta(t) \\
\frac{d\vec{e}_\theta(t)}{dt} = -\frac{d\theta(t)}{dt} \vec{e}_\rho(t)
\end{array}
\right.
\end{equation}

Remarque 3: il peut également être intéressant de savoir passer
des coordonnées cylindriques aux coordonnées cartésiennes
(voir exercice 2 et inversement.

Définition: Le système de coordonnées sphériques

Les coordonnées sphériques $\big( r(t),\theta(t),\varphi(t) \big)$
les vecteurs de base $(\vec{e}_r,\vec{e}_\theta,\vec{e}_\varphi)$.
Le vecteur $\vec{OM}$ décomposé dans la base sphérique
$(\vec{e}_r,\vec{e}_\theta,\vec{e}_\varphi)$ donne:
\begin{equation}
\vec{OM}(t) = r(t)\vec{e}_r(t)
\end{equation}
et sous forme matricielle:
\begin{equation}
\vec{OM}(t) =
\left(
\begin{array}{c}
r(t) \\
0 \\
0
\end{array}
\right)_{(\vec{e}_r,\vec{e}_\theta,\vec{e}_\varphi)}
\end{equation}
où $(r(t), 0, 0)$ sont les composantes du vecteur position dans la base sphérique $(\vec{e}_r,\vec{e}_\theta,\vec{e}_\varphi)$.

Remarque 1: même chose que précédemment attention ici a ne pas confondre coordonnées sphériques et composantes du vecteurs position $\vec{OM}$ dans la base sphérique !.

Remarque 2: il est important de retenir ici que les vecteurs
de base $\vec{e}_\rho(t)$ et $\vec{e}_\theta(t)$ dépendent du temps et
qu'il est alors possible de montrer (voir exercice 3 que la dérivation de ces vecteurs en fonction du temps donne:

\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{c}
\frac{d\vec{e}_r(t)}{dt} =
\frac{d\theta(t)}{dt}\vec{e}_\theta(t)+sin\theta(t)\frac{d\varphi(t)}{dt}\vec{e}_\varphi(t) \\
\frac{d\vec{e}_\theta(t)}{dt} =
-\frac{d\theta(t)}{dt}\vec{e}_r(t)+cos\theta(t)\frac{d\varphi(t)}{dt}\vec{e}_\varphi(t) \\
\frac{d\vec{e}_\varphi(t)}{dt} =
-\frac{d\varphi(t)}{dt}sin\theta(t)\vec{e}_r(t)
-\frac{d\varphi(t)}{dt}cos\theta(t)\vec{e}_\theta(t)
\end{array}
\right.
\end{equation}

Remarque 3: il peut également être intéressant de savoir passer
des coordonnées cylindriques aux coordonnées cartésiennes
(voir exercice 4 et inversement.

Cas particulier: le mouvement plan (besoin uniquement de deux coordonnées pour décrire le mouvement)

Définition: Les coordonnées polaires

Définition: Le repère de Frenet

4. Vitesse d'un point matériel

Définition: Vitesse moyenne 1

On appelle vitesse moyenne d'un point M: le rapport de la distance parcourue $d_p$ pour aller d'un point A à un point B sur l'intervalle de temps $\Delta t$
\begin{equation}
v_{m1} (M,\Delta t) = \frac{d_p}{\Delta t}
\end{equation}

On rencontre aussi parfois dans la littérature la définition suivante de la vitesse moyenne:

Définition: Vitesse moyenne 2

On appelle vitesse moyenne d'un point M: le rapport de la distance entre les points A et B sur l'intervalle de temps $\Delta t$
\begin{equation}
v_{m2} (M,\Delta t) = \frac{d}{\Delta t}
\end{equation}

Définition: Vitesse instantanée

On appelle vecteur vitesse instantanée $\vec{v}_i$ du point M à l'instant t, la dérivée du vecteur positon $\vec{OM}$ par rapport au temps:
\begin{equation}
\vec{v}_i (M,t) =
\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\vec{OM(t+\Delta t)}-\vec{OM(t)}}{\Delta t} = \frac{d\vec{OM}(t)}{dt}
\end{equation}

On appelle vitesse instantanée $v_i (M,t)$ du point M à l'instant t: la norme du vecteur vitesse instantanée $\vec{v}_i$:
\begin{equation}
v_i (M,t) = \parallel \vec{v}_i (M,t) \parallel
\end{equation}

Remarque: Attention au vocabulaire: la vitesse instantanée $v_i (M,t)$
est un scalaire tandis que le vecteur vitesse instantanée $\vec{v}_i$ est une grandeur vectorielle !.

Définition: Vecteur vitesse en coordonnées cartésiennes

Le vecteur vitesse instantanée décomposé dans la base cartésiennes est donné par la relation suivante:
\begin{equation}
\vec{v}_i (M,t)
= \frac{dx(t)}{dt}\vec{e}_x
+\frac{dy(t)}{dt}\vec{e}_y
+\frac{dz(t)}{dt}\vec{e}_z
\end{equation}

Cette relation peut également s'écrire sous une forme simplifiée:
\begin{equation}
\vec{v}_i = \dot{x}\vec{e}_x+\dot{y}\vec{e}_y+\dot{z}\vec{e}_z
\end{equation}

ou alors sous une forme matricielle, comme ceci:
\begin{equation}
\vec{v}_i =
\left(
\begin{array}{c}
\dot{x} \\
\dot{y} \\
\dot{z}
\end{array}
\right)_{(\vec{e}_x,\vec{e}_y,\vec{e}_z)}
\end{equation}
avec $(\dot{x}, \dot{y}, \dot{z})$ les composantes du vecteur vitesse dans la base cartésiennes $(\vec{e}_x,\vec{e}_y,\vec{e}_z)$.

[[ Démonstration:

La décomposition du vecteur postion dans la base cartésiennes est:
\begin{equation}
\vec{OM}(t) = x(t)\vec{e}_x + y(t)\vec{e}_y + z(t)\vec{e}_z
\end{equation}
D'apres la définition de on trouve:
\begin{equation}
\begin{split}
\vec{v}_i (M,t) & = \frac{d\vec{OM}}{dt}
= \frac{d}{dt}\bigg(x(t)\vec{e}_x + y(t)\vec{e}_y + z(t)\vec{e}_z\bigg) \\
& = \frac{dx(t)}{dt}\vec{e}_x+\frac{dy(t)}{dt}\vec{e}_y+\frac{dz(t)}{dt}\vec{e}_z
\end{split}
\end{equation}

]]

Définition: Vecteur vitesse en coordonnées cylindriques

\begin{equation}
\vec{v}_i (M,t) =
\frac{d\rho(t)}{dt}\vec{e}_\rho(t)
+\rho(t)\frac{d\theta(t)}{dt}\vec{e}_\theta(t)
+ \frac{dz(t)}{dt}\vec{e}_z
\end{equation}
\begin{equation}
\vec{v}_i = \dot{\rho}\vec{e}_\rho+\rho\dot{\theta}\vec{e}_\theta+\dot{z}\vec{e}_z
\end{equation}

qui peut également se mettre sous la forme matricielle suivante:
\begin{equation}
\vec{v}_i =
\left(
\begin{array}{c}
\dot{\rho} \\
\rho\dot{\theta} \\
\dot{z}
\end{array}
\right)_{(\vec{e}_\rho(t),\vec{e}_\theta(t),\vec{e}_z)}
\end{equation}
où $(\dot{\rho}, \rho\dot{\theta}, \dot{z})$ sont les composantes du vecteur vitesse dans la base cylindriques $(\vec{e}_\rho(t),\vec{e}_\theta(t),\vec{e}_z)$.

[[ Démonstration:

\begin{equation}
\vec{OM}(t) = \rho(t)\vec{e}_\rho(t) + z(t)\vec{e}_z
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{split}
\vec{v}_i (M,t) & = \frac{d\vec{OM}}{dt}
= \frac{d}{dt}\bigg( \rho(t)\vec{e}_\rho(t) + z(t)\vec{e}_z \bigg) \\
& = \frac{d\rho(t)}{dt}\vec{e}_\rho(t)
+ \rho(t)\frac{d\vec{e}_\rho(t)}{dt}
+ \frac{dz(t)}{dt}\vec{e}_z \\
\end{split}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{d\vec{e}_\rho(t)}{dt} = \frac{d\theta(t)}{dt}\vec{e}_\theta(t)
\end{equation}
\begin{equation}
\vec{v}_i (M,t) =
\frac{d\rho(t)}{dt}\vec{e}_\rho(t)
+\rho(t)\frac{d\theta(t)}{dt}\vec{e}_\theta(t)
+ \frac{dz(t)}{dt}\vec{e}_z
\end{equation}

]]

Définition: Vecteur vitesse en coordonnées sphériques

\begin{equation}
\vec{v}_i (M,t) =
\frac{dr(t)}{dt}\vec{e}_r(t)
+ r(t)\frac{d\theta(t)}{dt}\vec{e}_\theta(t)
+ r(t)sin\theta(t)\frac{d\varphi(t)}{dt}\vec{e}_\varphi(t)
\end{equation}
\begin{equation}
\vec{v}_i = \dot{r}\vec{e}_r + r\dot{\theta}\vec{e}_\theta
+ rsin\theta\dot{\varphi}\vec{e}_\varphi
\end{equation}

qui peut également se mettre sous forme matricielle:
\begin{equation}
\vec{v}_i =
\left(
\begin{array}{c}
\dot{r} \\
r\dot{\theta} \\
rsin\theta\dot{\varphi}
\end{array}
\right)_{(\vec{e}_r(t),\vec{e}_\theta(t),\vec{e}_\varphi(t)}
\end{equation}
où $(\dot{r}, r\dot{\theta}, rsin\theta\dot{\varphi})$ sont les composantes du vecteur vitesse dans la base sphériques $(\vec{e}_r(t),\vec{e}_\theta(t),\vec{e}_\varphi(t)$.

[[ Démonstration:

\begin{equation}
\vec{OM}(t) = r(t)\vec{e}_r(t)
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{split}
\vec{v}_i (M,t) & = \frac{d\vec{OM}}{dt}
= \frac{d}{dt} \bigg( r(t)\vec{e}_r(t) \bigg) \\
& = \frac{dr(t)}{dt}\vec{e}_r(t) + r(t)\frac{d\vec{e}_r(t)}{dt} \\
& = \frac{dr(t)}{dt}\vec{e}_r(t) + r(t)
\bigg( \frac{d\theta(t)}{dt}\vec{e}_\theta(t)+sin\theta(t)\frac{d\varphi(t)}{dt}\vec{e}_\varphi(t)\bigg) \\
& = \frac{dr(t)}{dt}\vec{e}_r(t)
+ r(t)\frac{d\theta(t)}{dt}\vec{e}_\theta(t)
+ r(t)sin\theta(t)\frac{d\varphi(t)}{dt}\vec{e}_\varphi(t)
\end{split}
\end{equation}

]]

Définition: Vecteur vitesse en coordonnées polaires

Définition: Vecteur vitesse dans le repère de Frenet

5. Accélération d'un point matériel

Définition: Accélération moyenne

\begin{equation}
\vec{a}_m (M,t) = \frac{\vec{v}(M,t+\Delta t) - \vec{v}(M,t)}{\Delta t}
\end{equation}

\begin{equation}
a_m (M,t) = \parallel \vec{a}_m (M,t) \parallel
\end{equation}

Définition: Accélération instantanée

\begin{equation}
\vec{a}_i (M,t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\vec{v}(M,t+\Delta t) - \vec{v}(M,t)}{\Delta t}
\end{equation}
\begin{equation}
\vec{a}_i (M,t) = \frac{d\vec{v}(M,t)}{dt}
\end{equation}
\begin{equation}
a_i (M,t) = \parallel \vec{a}_i (M,t) \parallel
\end{equation}

Définition: Vecteur accélération en fonction des coordonnées cartésiennes

\begin{equation}
\vec{a}_i (M,t) =
= \frac{d^2x(t)}{dt^2}\vec{e}_x + \frac{d^2y(t)}{dt^2}\vec{e}_y + \frac{d^2z(t)}{dt^2}\vec{e}_z
\end{equation}
\begin{equation}
\vec{a}_i = \ddot{x}\vec{e}_x+\ddot{y}\vec{e}_y+\ddot{z}\vec{e}_z
\end{equation}

qui peut également se mettre sous forme matricielle:
\begin{equation}
\vec{a}_i =
\left(
\begin{array}{c}
\ddot{x} \\
\ddot{y} \\
\ddot{z}
\end{array}
\right)_{(\vec{e}_x,\vec{e}_y,\vec{e}_z)}
\end{equation}

\begin{equation} \vec{v}_i (M,t) = \frac{dx(t)}{dt}\vec{e}_x + \frac{dy(t)}{dt}\vec{e}_y + \frac{dz(t)}{dt}\vec{e}_z
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{split}
\vec{a}_i (M,t) & = \frac{d\vec{v}(M,t)}{dt} \\
& = \frac{d}{dt} \bigg( \frac{dx(t)}{dt}\vec{e}_x + \frac{dy(t)}{dt}\vec{e}_y + \frac{dz(t)}{dt}\vec{e}_z \bigg) \\
& = \frac{d^2x(t)}{dt^2}\vec{e}_x + \frac{d^2y(t)}{dt^2}\vec{e}_y + \frac{d^2z(t)}{dt^2}\vec{e}_z
\end{split}
\end{equation}
\begin{equation}
\vec{a}_i = \ddot{x}\vec{e}_x+\ddot{y}\vec{e}_y+\ddot{z}\vec{e}_z
\end{equation}

Définition: Vecteur accélération en fonction des coordonnées cylindriques

\begin{equation}
\begin{split}
\vec{a}_i (M,t) & = \bigg( \frac{d^2\rho(t)}{dt^2} -
\rho(t)\bigg( \frac{d\theta(t)}{dt} \bigg)^2 \bigg) \vec{e}_\rho(t) \\
& + \bigg( 2.\frac{\rho(t)}{dt}\frac{d\theta(t)}{dt}
+ \rho(t)\frac{d^2\theta(t)}{dt^2} \bigg) \vec{e}_\theta(t) \\
& + \bigg( \frac{d^2 z(t)}{dt^2} \bigg) \vec{e}_z
\end{split}
\end{equation}
\begin{equation}
\vec{a}_i = (\ddot{\rho}-\rho \dot{\theta}^2)\vec{e}_\rho
+ (2\dot{\rho}\dot{\theta}+\rho\ddot{\theta})\vec{e}_\theta
+ (\ddot{z})\vec{e}_z
\end{equation}

Définition: Vecteur accélération en fonction des coordonnées sphériques

\begin{equation}
\begin{split}
\vec{a}_i (M,t) & = \bigg( \frac{d^2r(t)}{dt^2}
- r(t)\bigg(\frac{d\theta(t)}{dt}\bigg)^2
- r(t)\bigg(sin\theta\frac{d\varphi(t)}{dt}\bigg)^2 \bigg) \vec{e}_r(t) \\
& + \bigg(
2\frac{dr(t)}{dt}\frac{d\theta(t)}{dt}
+ r(t)\frac{d^2\theta(t)}{dt^2}
- r(t)sin\theta(t)cos\theta(t)\bigg(\frac{d\varphi(t)}{dt}\bigg)^2
\bigg)\vec{e}_\theta(t) \\
& + \bigg(
2\frac{dr(t)}{dt}sin\theta(t)\frac{d\varphi(t)}{dt}
+ 2r(t)\frac{d\theta(t)}{dt}cos\theta(t)\frac{d\varphi(t)}{dt}
+ r(t)sin\theta(t)\frac{d^2\varphi(t)}{dt^2}
\bigg)\vec{e}_\varphi(t)
\end{split}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{split}
\vec{a}_i & = \bigg( \ddot{r}-r\dot{\theta}^2 -r(sin\theta)^2\dot{\varphi}^2 \bigg)\vec{e}_r \\
& + \bigg( 2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}-rsin(\theta)cos(\theta)\dot{\varphi}^2 \bigg)\vec{e}_\theta \\
& + \bigg( 2\dot{r}sin(\theta)\dot{\varphi}+2r\dot{\theta}cos(\theta)\dot{\varphi}+rsin(\theta)\ddot{\varphi} \bigg)\vec{e}_\varphi
\end{split}
\end{equation}

6. Changement de référentiels

7. Loi de composition des vitesses

8. Loi de composition des accélérations

9. Exercices & Codes

10. Références