Introduction aux équations du second degré

Petite introduction aux équations du second degré en mathématiques

1 -- Présentation du problème

Considérons le cas suivant: soit par exemple la fonction f1 (en bleue sur l'image ci-dessous):

\begin{equation}
x \rightarrow 3.x^ 2 + 6.x + 1
\end{equation}

et la fonction f2 correspondant à une droite (en rouge)

\begin{equation}
x \rightarrow 3
\end{equation}

avec $x \in \mathbb{R}$

On cherche a résoudre le problème suivant: existe t'il des valeurs de x tel que:

\begin{equation}
3.x^ 2 + 6.x + 1 = 3
\end{equation}

que l'on peut aussi écrire:

\begin{equation}
3.x^ 2 + 6.x - 2 = 0
\end{equation}

x qui indiquent les intersections entre le=les lignes bleue et rouge sur la figure.

2 -- Résoudre une équation du second degré

De façon générale on peut donc définir le problème suivant: existe t'il des valeurs de x tel que:

\begin{equation}
a x^2+ bx + c = 0
\end{equation}

Pour déterminer cela on peut utiliser le discriminant \Delta défini comme:

\begin{equation}
\Delta = b^2 - 4ac
\end{equation}

• si $\Delta = 0$ il existe une solution $x_{0}$

\begin{equation}
x_{0} = \frac{-b}{2a}
\end{equation}

Dans ce cas l'expression $a x^2+ bx + c$ peut se factoriser comme:

\begin{equation}
g(x) = a x^2+ bx + c = a(x-x_0)^2
\end{equation}

• Si $\Delta > 0$ il existe deux solutions $x_{1}$ et $x_{2}$

\begin{equation}
x_{1} = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}
\end{equation}

\begin{equation}
x_{2} = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
\end{equation}

Dans ce cas l'expression a x^2+ bx + c peut se factoriser comme:

\begin{equation}
g(x) = a x^2+ bx + c = a(x-x_1)(x-x_2)
\end{equation}

• Si $\Delta < 0$ il n'existe pas de solution

3 -- Aller plus loin

D'ou vient le discriminant ?

\begin{equation}
g(x) = a x^2+ bx + c
\end{equation}

\begin{equation}
g'(x) = 2ax + b = 0
\end{equation}

\begin{equation}
x_{min} = \frac{-b}{2a}
\end{equation}

\begin{equation}
g(x_{min}) = \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} + c
\end{equation}

\begin{equation}
g''(x) = 2a
\end{equation}

\begin{equation}
g(x_{min}) > 0 \
\frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} + c > 0
\end{equation}

Comment trouver les solutions x1 et x2 ?

Considérons que $\Delta = b^2-4ac > 0 $ dans ce cas il existe deux solutions (racines) possibles.

Identités remarquables

\begin{equation}
(u+v)^2 = u^2 + 2uv + v^2
\end{equation}

\begin{equation}
u^2 - v^2 = (u + v)(u - v)
\end{equation}

\begin{equation}
g(x) = a x^2+ bx + c = a\big[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a^2}] = a(x-x_1)(x-x_2)
\end{equation}

4 -- Equations du second degré avec python

Résoudre une équation du second degré avec python

Avec python on peut trouver les racines d'une équation polynomiale de degré 2 ($ax^2+bx+c$) en utilisant la fonction numpy: roots. Considérons par exemple l'équation polynomiale de degré 2 suivante $x^2+3x-0$ avec les coefficients $a=1$, $b=3$ et $c=-4$, on trouve alors:

>>> import numpy as np
>>> coeff = [1,3,-4]
>>> np.roots(coeff)
array([-4.,  1.])

cette équation admet 2 racines réels : $x=-4$ et $x=1$.

Créer des visualisations avec matplotlib

Exemple de comment retracer avec python la figure d'intro:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def function(x):
    return 3 * x ** 2 + 6 * x + 1

xmin, xmax = -4.0,4.0
ymin, ymax = -4.0,4.0

x = np.linspace(-np.pi, np.pi, 100)
y = function(x)

fig = plt.figure()

ax = plt.gca()

ax.plot(x, y)

ax.grid(True)
ax.spines['left'].set_position('zero')
ax.spines['right'].set_color('none')
ax.spines['bottom'].set_position('zero')
ax.spines['top'].set_color('none')

plt.xlim(xmin, xmax)
plt.ylim(ymin, ymax)

plt.axhline(y=3.0, c='red', linestyle='--')

plt.savefig("quadratic_equation_01.png")
plt.show()

5 -- Références

• Equation du second degré
• Comment placer l'origine au centre de la figure avec matplotlib ?
• Factoriser un polynôme du second degré
• Racines d'un polynôme