Comment diviser un nombre complexe par un nombre complexe ?

Dans cet article on va présenter comment diviser un nombre complexe par un autre nombre complexe. Pour cela, considérons deux nombres complexes $z_1$ et $z_2$ et divisons $z_1$ par $z_2$ comme ceci:

\begin{equation}
\frac{z_1}{z_2}=z_3
\end{equation}

avec $z_3$ le nouveau nombre complexe résultant de la division de $z_1$ par $z_2$. Diviser un nombre complexe par un autre nombre complexe consiste alors à chercher à écrire $z_3$ sous sa forme cartésienne (c'est-à-dire $z_3=a_3+ib_3$ où $a_3$ et $b_3$ sont respectivement la partie réel et imaginaire du nombre complexe $z_3$). Pour cela il faut également écrire $z_1$ et $z_2$ sous leur forme cartésienne ($a_1+ib_1$ et $a_2+ib_2$ respectivement) comme ceci:

\begin{equation}
z_3=\frac{z_1}{z_2}=\frac{a_1+ib_1}{a_2+ib_2}
\end{equation}

On constate que pour mettre $z_3$ sous forme cartésienne le dénominateur $a_2+ib_2$ pose ici problème, cependant on peut facilement passer d'un nombre complexe au dénominateur à un nombre réel en se rappelant de l'identité remarquable suivante:

\begin{equation}
(a+ib)(a-ib) =a^2+b^2
\end{equation}

que l'on peut alors utiliser comme ceci:

\begin{equation}
z_3=a_3+ib_3=
\frac{a_1+ib_1}{a_2+ib_2}=\frac{a_1+ib_1}{a_2+ib_2}*\frac{a_2-ib_2}{a_2-ib_2}=\frac{(a_1*a_2+b_1*b_2)+i(b_1*a_2-a_1*b_2)}{a_2^2+b_2^2}
\end{equation}

Finalement on trouve:

\begin{equation}
\left\{ \begin{array}{c}
a_3 = (a_1*a_2+b_1*b_2) \,\, / \,\, (a_2^2+b_2^2) \\
b_3 = (b_1*a_2-a_1*b_2) \,\, / \,\, (a_2^2+b_2^2)
\end{array}\right.
\end{equation}

Note: on peut aussi utiliser la forme trigonométrique et exponentielle des nombres complexes pour obtenir le même résultat:

\begin{equation}
\frac{z_1}{z_2} = \frac{\rho_1 e^{i\theta_1}}{\rho_2 e^{i\theta_2}}
= \frac{\rho_1 e^{i\theta_1}}{\rho_2 e^{i\theta_2}} *
\frac{\rho_2 e^{-i\theta_2}}{\rho_2 e^{-i\theta_2}}
= \frac{\rho_1}{\rho_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}
\end{equation}

Pour retrouver (4) à partir de cette équation il faut se rappeler des relations entre coordonnées cartésiennes et polaires:

\begin{align}
a = \rho cos\theta \\
b = \rho sin\theta \\
\rho = \sqrt{a^2+b^2}
\end{align}

et des formules trigonométriques suivantes:

\begin{align}
cos(\theta_1-\theta_2) = & cos\theta_1cos\theta_2+sin\theta_1sin\theta_2 \\
sin(\theta_1-\theta_2) = & sin\theta_1cos\theta_2-cos\theta_1sin\theta_2
\end{align}

ce qui dans (6) donne:

\begin{align}
z_3= &
\frac{\rho_1}{\rho_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}=
\frac{\rho_1*\rho_2}{\rho_2^2}e^{i(\theta_1-\theta_2)} \\
= & \frac{\rho_1.\rho_2cos(\theta_1-\theta_2)+i\rho_1.\rho_2sin(\theta_1-\theta_2)}{\rho_2^2} \\
= & \frac{\rho_1.\rho_2(cos\theta_1cos\theta_2+sin\theta_1sin\theta_2)+i\rho_1.\rho_2(sin\theta_1cos\theta_2-cos\theta_1sin\theta_2)}{\rho_2^2} \\
= &
\frac{(a_1*a_2+b_1*b_2)+i(b_1*a_2-a_1*b_2)}{a_2^2+b_2^2}
\end{align}

CQFD !
L'équation (6) permet de donner une interpretation géométrique sur la division de deux nombres complexes: on voit ici en effet que diviser deux nombres complexes consiste a diviser les modules (longueurs) et soustraire les arguments (angles).

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