Montrer que la dérivée de la fonction puissance $x^n$ est $n.x^{n-1}$

Published: 15 décembre 2016

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Pour montrer que la dérivée de la fonction usuelle

\begin{equation}
f: x \rightarrow x^n
\end{equation}

est

\begin{equation}
f': x \rightarrow n.x^{n-1}
\end{equation}

il existe plusieurs approches (voir par exemple Proof of Various Derivative Facts/Formulas/Properties). Rappelons tout d'abord que la dérivée d'une fonction f est une fonction qui, à tout nombre pour lequel f admet un nombre dérivé, associe ce nombre dérivé:

\begin{equation}
f': x \rightarrow \lim\limits_{\substack{h \to 0 \\ h\ne0}} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
\end{equation}

En insérant (1) dans (3), on obtient alors:

\begin{equation}
f': x \rightarrow \lim\limits_{\substack{h \to 0 \\ h\ne0}} \frac{(x_0+h)^n-x_0^n}{h}
\end{equation}

Pour simplifier cette formule on peut utiliser la Formule du binôme de Newton qui nous dit que l'on peut écrire $(x_0+h)^n$ comm ceci:

\begin{equation}
(x_0+h)^n = x_0^n + n.h.x_0^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2!}.x_0^{n-2}.h^2 + ... + n.x_0.h^{n-1} + h^n
\end{equation}

En remplacant on obtient alors

\begin{equation}
\require{cancel}
\begin{split}
f': x & \rightarrow \lim\limits_{\substack{h \to 0 \\ h\ne0}} \frac{(x_0+h)^n-x_0^n}{h} \\
& \rightarrow \lim\limits_{\substack{h \to 0 \\ h\ne0}} \frac{x_0^n + n.h.x_0^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2!}.x^{n-2}.h^2 + ... + n.x.h^{n-1} + h^n-x_0^n}{h} \\
& \rightarrow \lim\limits_{\substack{h \to 0 \\ h\ne0}} \frac{\cancel{x_0^n} + n.h.x_0^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2!}.x^{n-2}.h^2 + ... + n.x.h^{n-1} + h^n - \cancel{x_0^n}}{h} \\
& \rightarrow \lim\limits_{\substack{h \to 0 \\ h\ne0}} \frac{n.\cancel{h}.x_0^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2!}.x^{n-2}.\cancel{h}.h + ... + n.x.\cancel{h}.h^{n-2} + \cancel{h}.h^{n-1} }{\cancel{h}} \\
& \rightarrow \lim\limits_{\substack{h \to 0 \\ h\ne0}} n.x_0^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2!}.x^{n-2}.h + ... + n.x.h^{n-2} + h^{n-1} \\
& \rightarrow n.x_0^{n-1}
\end{split}
\end{equation}

CQFD

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